线性代数笔记8--AX=b:可解性、解的结构
1. 求解Ax=b
AX=bAX=bAX=b有解，则bbb在AAA的列向量之中。
举例
AX=b[1222246836810][x1x2x3x4]=[b1b2b3]
AX=b\\
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2\\
2 & 4 & 6 & 8\\
3 & 6 & 8 & 10\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\x_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
b_1\\b_2\\b_3\\
\end{bmatrix}
AX=b1232462682810x1x2x3x4=b1b2b3
增广矩阵，将方程的解放在系数后面得到的矩阵。
Au=[1222b12468b236810b3]
A_{u}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\
2 & 4 & 6 & 8 & b_2\\
3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\
\end{bmatrix}
Au=1232462682810b1b2b3
消元
Au=[1222b12468b236810b3]⟶c2−2c1[1222b10024b2−2b136810b3]⟶c3−3c1[1222b10024b2−2b10024b3−3b1]⟶c3−c2[1222b10024b2−2b10000b3−b2−b1]
A_{u}=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\
2 & 4 & 6 & 8 & b_2\\
3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\
\end{bmatrix}
\stackrel{c_2-2c_1}\longrightarrow{}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\
0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1\\
3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\
\end{bmatrix}
\stackrel{c_3-3c_1}\longrightarrow{}\\
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\
0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1\\
0 & 0 & 2 & 4 & b_3-3b_1\\
\end{bmatrix}
\stackrel{c_3-c_2}\longrightarrow{}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\
0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1\\
0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1\\
\end{bmatrix}
Au=1232462682810b1b2b3⟶c2−2c11032062282410b1b2−2b1b3⟶c3−3c1100200222244b1b2−2b1b3−3b1⟶c3−c2100200220240b1b2−2b1b3−b2−b1
分类讨论
消元后当出现有一行只有最后一列非0，方程则不存在解否则存在解
对于上面的例子: 需要满足b3−b2−b1=0b_3-b_2-b_1=0b3−b2−b1=0
假设
b=[156]
b=
\begin{bmatrix}
1\\5\\6
\end{bmatrix}
b=156
求特解
假设所有自由列的取值均为0，求出一个特解。
A′=[122210024300000]
A'=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2 & 4 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
A′=100200220240130
得到
xp=[−20320]
x_p=
\begin{bmatrix}
-2\\
0\\
\frac{3}{2}\\
0
\end{bmatrix}
xp=−20230
求AAA的零空间
求法在上一节中已经知道了。
[120−200120000]⟶[102−201020000]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\stackrel{}\longrightarrow{}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
100200010−220⟶100010200−220
AAA的零空间
N(A)=c[−2100]+d[20−21]
N(A)=
c
\begin{bmatrix}
-2 \\1\\0\\0
\end{bmatrix}
+d
\begin{bmatrix}
2 \\0\\-2\\1
\end{bmatrix}
N(A)=c−2100+d20−21
组合特解和N(A)N(A)N(A)
ans=Xp+XN=[−20320]+c[−2100]+d[20−21]
ans=X_p+X_N=
\begin{bmatrix}
-2\\
0\\
\frac{3}{2}\\
0
\end{bmatrix}+
c
\begin{bmatrix}
-2 \\1\\0\\0
\end{bmatrix}
+d
\begin{bmatrix}
2 \\0\\-2\\1
\end{bmatrix}
ans=Xp+XN=−20230+c−2100+d20−21
为什么是这样?
AXp=bAXn=0A(Xp+Xn)=b
AX_p=b\\
AX_n=0\\
A(X_p+X_n)=b
AXp=bAXn=0A(Xp+Xn)=b
相当于在R4R^4R4的一个平面平移到了点xpx_pxp上得到的一个新R2R^2R2平面。
2. 解的结构
分类讨论
对于大小为m×nm \times nm×n的秩为rrr矩阵AAA , 方程组AX=bAX=bAX=b解的情况会是怎样的？
r≤m,r≤nr\le m ,r\le nr≤m,r≤n
2.1 列满秩的情况
r=n 此时N(A)=0N(A)=0N(A)=0，可能有一个解或者没有解。 bbb不能满足AAA行的线性组合。 举例 A=[13216151] A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1\\ 6 & 1\\ 5 & 1\\ \end{bmatrix} A=12653111 2.2 行满秩的情况 r=m 矩阵还有n−mn-mn−m个自由元，方程有无穷多个解。 A=[12653111] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5\\ 3 & 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} A=[13216151] 2.3 行列满秩的情况 r=n=mr=n=mr=n=m A=[1324] A= \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 &4 \end{bmatrix} A=[1234] 行最简型为III单位矩阵，必然有唯一解。 2.4 行列均不满秩 r r \lt n,r \lt m r R=[IF00] R= \begin{bmatrix} I & F\\ 0 & 0 \end{bmatrix} R=[I0F0] 000个或∞\infty∞个